Потенциальная энергия имеется у системы взаимодействующих тел. Но отдельное деформированное тело также обладает такого типа энергией. В таком случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения частей тела.
Энергия упругой деформации
Если груз, подвешенный на проволоке, растягивает подвес и опускается, значит, сила тяжести совершает работу. За счет такой работы увеличивается энергия деформированного тела, которое перешло из ненапряженного состояния в напряженное. Получается, что при деформации внутренняя энергия тела увеличивается. Рост внутренней энергии тела заключается в увеличении потенциальной энергии, которая связана со взаимным расположением молекул тела. Если мы имеем дело с упругой деформацией, то после снятия нагрузки, дополнительная энергия исчезает, и за ее счет силы упругости совершают работу. В ходе упругой деформации температура твердых тел существенно не увеличивается. В этом состоит их значительное отличие от газов, которые при сжатии нагреваются. При пластической деформации твердые тела могут значительно увеличивать свою температуру. В повышении температуры, следовательно, кинетической энергии молекул, отражается рост внутренней энергии тела при пластической деформации. При этом увеличение внутренней энергии происходит также за счет работы сил, вызывающих деформацию.
Для того чтобы растянуть или сжать пружину следует выполнить работу () равную:
где - величина характеризующая изменение длины пружины (удлинение пружины); - коэффициент упругости пружины. Данная работа идут на изменение потенциальной энергии пружины ():
При записи выражения (2) считаем, что потенциальная энергия пружины без деформации равна нулю.
Потенциальная энергия упруго деформированного стержня
Потенциальная энергия упруго деформированного стержня при его продольной деформации равна:
где - модуль Юнга; - относительное удлинение; - объем стержня. Для однородного стержня при равномерной его деформации плотность энергии упругой деформации можно найти как:
Если деформация стержня является неравномерной, то при использовании формулы (3) для поиска энергии в точке стержня в эту формулу подставляют значение для рассматриваемой точки.
Плотность энергии упругой деформации при сдвиге находят, используя выражение:
где - модуль сдвига; - относительный сдвиг.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Камень, имеющий массу при выстреле из рогатки начал полет со скоростью . Каков коэффициент упругости резинового шнура рогатки, если при выстреле шнур получил удлинение ? Считайте, что изменением сечения шнура можно пренебречь. |
| Решение | В момент выстрела потенциальная энергия растянутого шнура () переходит в кинетическую энергию камня (). По закону сохранения энергии можно записать:
Потенциальную энергию упругой деформации резинового шнура найдем как:
где - коэффициент упругости резины, кинетическая энергия камня:
следовательно
Выразим коэффициент жесткости резины из (1.4): |
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Пружину, имеющую жесткость , сжимает сила, величина которой равна . Какова работа () приложенной силы при дополнительном сжатии этой же пружины еще на ? |
| Решение | Сделаем рисунок. |
Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих тел, но и отдельно взятое упруго деформированное тело (например, сжатая пружина, растянутый стержень и т.п.). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (например, от расстояния между соседними витками пружины).
Определим работу, которую необходимо затратить для растяжения (или сжатия) пружины на величину «x» (рис.3.8). Будем считать, что пружина подчиняется закону Гука, т.е. упругая сила пропорциональна деформации. Будем проводить растяжение пружины очень медленно, чтобы силу, с которой мы действуем на пружину, можно было все время считать равной по величине упругой силе . Далее будем считать, что сила действует в направлении перемещения, т.е. .
Исходя из предыдущего, можно записать F внешн. = -F упр. = kx, где x – удлинение пружины, k – коэффициент жесткости пружины, а согласно закону Гука направление упругой силы и перемещения противоположны (силы упругости обусловлены взаимодействием между частицами (молекулами и атомами) и имеют, в конечном счете, электрическую природу).
Пусть под действием силы пружина растянулась на dx , тогда dA=F·dx=k·x·dx .
Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. В предположении, что потенциальная энергия недеформированной пружины равна «0» (U 1 = 0) получаем
– потенциальная энергия упругой деформации пружины.
Все темы данного раздела:
Несколько вводных замечаний о предмете физики
Мир, окружающий нас материален: он состоит из вечно существующей и непрерывно движущейся материи.
Материей в широком смысле этого слова называется все, что реально существует в природе и м
Механика
Простейшим видом движения материи является механическое движение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: механическое движение – изменение взаимного расположения тел или их частей относительно друг друга в простран
Кинематика движения материальной точки. Характеристики движения
Положение материальной точки M в пространстве в данный момент времени может быть задано радиус-вектором (см. рис
Вектор скорости. Средняя и мгновенная скорость
Движения различных тел различаются тем, что тела за одинаковые промежутки (равные) времени проходят различные по
Путь при неравномерном движении
За малый промежуток времени Dt перемещение графически изображается в виде прямоугольника, высота которого равна
Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение)
Если траектория движения материальной точки представляет собой кривую линию, то такое движение мы будем называть криволинейным.
При таком движении
Угловая скорость
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вращательным движением будем называть такое движение, при котором все точки абсолютно твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью в
Угловое ускорение
Вектор угловой скорости может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае
Связь между линейной и угловой скоростью
Пусть за малый промежуток времени Dt тело повернулось на угол Dj (рис. 2.17). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси, проходит при этом путь DS = R×Dj. По определению
Динамика
Раздел механики, исследующий законы и причины, вызывающие движение тел, т.е. изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил.
В основе классической (ньютоновской) мех
закон Ньютона
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Ускорение всякого тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела:
закон Ньютона
Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: если тело M1 действует на тело M2 с некоторой силой f12, то и тело M2 в свою очер
Импульс. Закон сохранения импульса
В механической системе, состоящей из нескольких тел, существуют как силы взаимодействия между телами системы, которые называются внутренними, так и силы взаимодействия этих тел с телами, не входящи
Работа и энергия
Пусть тело, на которое действует сила, проходит, двигаясь по некоторой траектории путь S. При этом сила либо из
Мощность
На практике имеет значение не только величина совершенной работы, но и время, в течение которого она совершается. Из всех механизмов наиболее выгодными являются те, которые за меньшее время выполня
Энергия
Из опыта известно, что тела часто оказываются в состоянии совершать работу над другими телами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать
Кинетическая энергия тела
Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы (материальной точки).
Напишем уравнение движения частицы
Потенциальное поле сил. Силы консервативные и неконсервативные
Если частица (тело) в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что эта частица (тело) находится в поле сил.
Пример: 1. Частица вблизи повер
Потенциальная энергия тела в поле сил тяжести (в поле тяготения Земли)
Поле тяготения Земли есть силовое поле, поэтому любое движение тела в силовом поле сопровождается совершением работы силами этого поля.
Для определения потенциальной энергии тела, находяще
Потенциальная энергия в гравитационном поле (в поле всемирного тяготения)
Установленный Ньютоном закон всемирного тяготения гласит:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Гравитационная сила или сила тяготения – это сила, с которой две материальные точки притягивают друг др
Закон сохранения энергии
Без нарушения общности рассмотрим систему, состоящую из двух частиц массами m1 и m2. Пусть частицы взаимодействуют друг с другом с силами
Поступательное движение твердого тела
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Абсолютно твердым телом будем называть такое тело, деформациями которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь.
или
Абсолютно твердым телом
Вращательное движение твердого тела
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вращательным движением твердого тела будем называть такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и ой же прямой, называемой
Момент импульса тела
Для описания вращательного движения потребуется ещё одна величина, называемая моментом импульса.
Снача
Основное уравнение динамики вращательного движения
Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через ось Z (рис. 4.15). Все плоскости могут вращаться вокруг оси Z с углово
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
1. Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси Z. Разобьем все тело на множество элементарных масс m
Работа внешних сил при вращательном движении твердого тела
Найдем работу, которую совершают силы при вращении тела вокруг неподвижной оси Z.
Пусть на массу действ
Линии и трубки тока
Гидродинамика изучает движение жидкостей, однако ее законы примени- мы и к движению газов. При стационарном тече
Уравнение Бернулли
Будем рассматривать идеальную несжимаемую жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) отсутствует. Выделим
Силы внутреннего трения
Реальной жидкости присуща вязкость, которая проявляется в том, что любое движение жидкости и газа самопроизвольн
Ламинарное и турбулентное течения
При достаточно малой скорости движения жидкости наблюдается слоистое или ламинарное течение, когда слои жидкости скользят относительно друг друга не перемешиваясь. При ламинарном т
Течение жидкости в круглой трубе
При движении жидкости в круглой трубе ее скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна на оси трубы. Полагая
Движение тел в жидкостях и газах
При движении симметричных тел в жидкостях и газах возникает сила лобового сопротивления, направленная противоположно скорости движения тела. При ламинарном обтекании шара линии ток
Законы Кеплера
К началу 17 столетия большинство ученых окончательно убедилось в справедливости гелиоцентрической системы мира. Однако ученым того времени не были ясны ни законы движения планет, ни причины, опреде
Опыт Кавендиша
Первой успешной попыткой определения «g» были измерения, осуществленные Кавендишем (1798г.), который применил дл
Напряженность гравитационного поля. Потенциал гравитационного поля
Гравитационное взаимодействие осуществляется через гравитационное поле. Это поле проявляет себя в том, помещенное в него другое тело оказывается под действием силы. Об «интенсивности» гравитационно
Принцип относительности
В разд. 2.1. для механических систем был сформулирован следующий принцип относительности: во всех инерциальных системах отсчета все законы механики одинаковы. Никакими (меха
Постулаты специальной (частной) теории относительности. Преобразования Лоренца
Эйнштейн сформулировал два постулата, лежащие в основе специальной теории относительности:
1. Физические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Никакими
Следствия из преобразований Лоренца
Самым неожиданным следствием теории относительности является зависимость времени от системы отсчета.
Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точк
Интервал между событиями
В теории относительности вводят понятие события, которое определяется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло. Событие можно изобразить точкой в воображаемом четырехмерном
Уравнение гармонического колебательного движения
Пусть на некоторое тело массы “m” действует квазиупругая сила, под действием которой тело приобретает ускорени
Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма
Сложение нескольких колебаний одинакового направления (или, что то же самое, сложение нескольких гармонических функций) значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания гра
Скорость, ускорение и энергия колеблющегося тела
Вернемся к формулам для смещения x, скорости v и ускорения a гармонического колебательного процесса.
Пусть имеем тело массы «m», которое совершает под действием квазиу
Гармонический осциллятор
Систему, описываемую уравнением, где
Физический маятник
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Физическим маятником будем называть твердое тело, способное совершать колебания вокруг непо
Затухающие колебания
При выводе уравнения гармонических колебаний считалось, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопроти
Вынужденные колебания. Резонанс
Для того чтобы система совершала незатухающие колебания, необходимо извне восполнять потери энергии колебаний на трение. Для того, чтобы энергия колебаний системы не убывала обычно вводят силу, пер
Предмет и методы молекулярной физики
Молекулярная физика представляет собой раздел физики, изучающий строение и свойства вещества, исходя и так называемых молекулярно-кинетических представлений. Согласно этим представлениям любое тело
Термодинамическая система. Параметры состояния системы. Равновесное и неравновесное состояние
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Термодинамической системой называется совокупность тел, обменивающихся энергией, как друг с другом, так и с окружающими телами.
Примером системы может служить жидкость
Идеальный газ. Параметры состояния идеального газа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Идеальным газом называется газ, при рассмотрении свойств которого соблюдаются следующие условия: а) соударения молекул такого газа происходят как соударения упругих шаров, размеры
Газовые законы
Если разрешить уравнение состояния идеального газа
относительно какого-либо из параметров, н
Физический смысл универсальной газовой постоянной
Универсальная газовая постоянная имеет размерность работы, отнесенной к 1 молю и температуре 1°К.
Основное уравнение кинетической теории газов
Если в предыдущем разделе применялся термодинамический метод исследования, то в этом разделе будет использован статистический метод исследования молекулярных процессов. На основании исследования со
Барометрическая формула. Распределение Больцмана
Давно известно, что давление газа над поверхностью Земли уменьшается с высотой. Атмосферное давление на некотор
Максвелловское распределение молекул по скоростям
В результате столкновений молекулы обмениваются скоростями, а в случае тройных и более сложных столкновений молекула может иметь временно очень большие и очень малые скорости. Хаотичное движение пр
Явления переноса. Длина свободного пробега молекул
В предыдущих разделах мы рассматривали свойства тел, находящихся в тепловом равновесии. Данный раздел посвящен процессам, с помощью которых происходит установление состояния равновесия. Такие проце
Явление диффузии
Диффузией называют процесс взаимного проникновения молекул соприкасающихся веществ, обусловленный тепловым движением. Этот процесс наблюдается в газах, жидкостях и твердых т
Явление теплопроводности и вязкости
Явление теплопроводности вещества определяет многие очень важные технические процессы и широко применяется в разнообразных расчетах. Эмпирическое уравнение теплопроводности было получено французски
Внутренняя энергия идеального газа
Важной величиной в термодинамике является внутренняя энергия тела. Любое тело кроме механической энергии может обладать запасом внутренней энергии, которая связана с механическим движением атомов и
Работа и теплота. Первое начало термодинамики
Внутренняя энергия газа (и другой термодинамической системы) может изменяться в основном за счет двух процессов: совершения над газом работы
Работа газовых изопроцессов
Пусть газ заключен в цилиндрический сосуд, закрытый плотно пригнанным и легко скользящим поршнем (рис.10.3). Пр
Молекулярно-кинетическая теория теплоемкостей
Теплоемкостью тела C называют физическую величину, численно равную количеству тепла, которое необходимо сообщить телу для нагревания его на один градус. Если сообщить телу к
Адиабатический процесс
Наряду с изопроцессами существует адиабатический процесс, широко распространенный в природе. Адиабатическим процессом называют процесс, протекающий без теплообмена с внеш
Круговые обратимые процессы. Цикл Карно
Механические процессы обладают замечательным свойством обратимости. Например, брошенный камень, описав некоторую траекторию, упал на землю. Если его бросить обратно с той же скоростью, то он опишет
Понятие об энтропии. Энтропия идеального газа
Для цикла Карно из формул (10.17) и (10.21) легко получить соотношение
Q1 /T1 - Q2 /T2 = 0. (10.22)
Величину Q/T называют
Второе начало термодинамики
Понятие энтропии помогло строго математически сформулировать закономерности, позволяющие определить направление тепловых процессов. Огромная совокупность опытных фактов показывает, что для
Статистическое толкование второго начала термодинамики
Состояние макроскопического тела (т.е. тела, образованного огромным числом молекул) может быть задано с помощью объема, давления и температуры. Данное макроскопическое состояние газа с определенным
Уравнение Ван-дер-Ваальса
Поведение реальных газов при их малых плотностях хорошо описывается уравнением Клапейрона:
Критическое состояние вещества
Важное значение уравнения Ван-дер-Ваальса заключается в том, что оно предсказывает особо
Эффект Джоуля-Томсона
В реальном газе между молекулами действуют силы притяжения и отталкивания. Силы притяжения обусловлены дипольным взаимодействием молекул. Некоторые молекулы могут представлять собой постоянные дипо
При упругой деформации стержня сила , приложенная к стержню, совершает работу:
(3.50)
Преобразуем это выражение так, чтобы в него вошли параметры деформируемого тела вместо жесткости . Для этого подставим в выражение закона Гука относительную деформацию и механическое напряжение :
Из (3.51) следует, что
, (3.52)
(3.53)
Работа внешней силы идет на увеличение запаса потенциальной энергии деформированного тела: . Если стержень однородный, то его деформация равномерно распределена по объему стержня. Тогда энергию деформации также можно считать равномерно распределенной по объему стержня, с плотностью энергии упругой деформации:
. (3.54)
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Рассмотрим теперь общий случай: пусть имеется система из частиц, взаимодействующих между собой посредством консервативных сил, и одновременно находящихся под действием внешних консервативных и неконсервативных сил.
Получим выражение для работы, совершаемой над частицами системы, при перемещении системы из одного положения в другое и одновременном изменении конфигурации системы. Обозначим работу внешних консервативных сил . Эта работа равна убыли потенциальной энергии во внешнем поле сил:
. (3.55)
Для работы внутренних консервативных сил при изменении конфигурации системы справедливо аналогичное выражение:
Обозначим работу неконсервативных сил . Вспомним, сформулированное нами ранее утверждение: суммарная работа идет на приращение кинетической энергии системы . Тогда можно записать соотношение:
Подставим в левую часть выражения для работы консервативных сил:
Или, после перегруппировки слагаемых по индексам,
Обозначим сумму 
. Эта сумма, по определению, представляет собой полную механическую энергию системы
. Тогда из (3.54) следует, что приращение полной энергии системы
(3.55)
равно работе не консервативных сил.
В частном случае, при их отсутствии , полная энергия не изменяется:
Таким образом, полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной . Это утверждение называют законом сохранения механической энергии .
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим частицу, на которую действуют только консервативные силы. Если в некотором состоянии результирующая сил, действующих на частицу равна нулю, то говорят, что частица находится в состоянии равновесия . В зависимости от последствий незначительного отклонения системы от положения равновесия различают:
§ устойчивое равновесие – если возникают силы, возвращающие систему в положение равновесия (рисунок 2.3 – 1);
- неустойчивое равновесие – если возникают силы, удаляющие систему от равновесия (рисунок 2.3 – 2);
- безразличное равновесие – если в новом положении система также оказывается в положении равновесия (рисунок 2.3 – 3).
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА.
ЦЕНТР МАСС И ЕГО ДВИЖЕНИЕ
Вторым аддитивным интегралом движения, сохраняющимся для замкнутой системы является её импульс .
Рассмотрим систему взаимодействующих частиц. На i -тую частицу системы действуют внутренние силы и внешне с результирующей . Уравнение движения i -той частицы имеет вид:
(3.57)
Аналогичные уравнения, очевидно можно записать для каждой из частиц. Сложив левые и правые части уравнений, получим
(3.58)
Двойная сумма в (3.58) представляет собой сумму всех внутренних
сил системы. По третьему закону Ньютона , и для каждого слагаемого в этой сумме найдется противоположный ему вектор. Поэтому 
.
По определению импульсом системы называютвекторную сумму импульсов тел системы , т.е. величину . Таким образом, в левой части (3.58) стоит производная импульса системы. Если система замкнута, то из (3.58) следует, что
(3.58)
Таким образом, импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным . Это утверждение называют законом сохранения импульса .
Требование отсутствия внешних сил не является жестким. Если в пространстве существует такое направление, что проекция суммы результирующих внешних сил на него равна нулю, то, в соответствии с (3.58), проекция импульса системы на это направление будет оставаться постоянной.
Важным свойством обладает точка, называемая центром масс системы . Если система образована материальными точками с массами , а их положение задается радиус-векторами
Деформированное упругое тело (например, растянутая или сжатая пружина) способно, возвращаясь в недеформированное состояние, совершить работу над соприкасающимися с ним телами. Следовательно, упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией. Она зависит от взаимного положения частей тела, например витков пружины. Работа, которую может совершить растянутая пружина, зависит от начального и конечного растяжений пружины. Найдем работу, которую может совершить растянутая пружина, возвращаясь к нерастянутому состоянию, т. е. найдем потенциальную энергию растянутой пружины.
Пусть растянутая пружина закреплена одним концом, а второй конец, перемещаясь, совершает работу. Нужно учитывать, что сила, с которой действует пружина, не остается постоянной, а изменяется пропорционально растяжению. Если первоначальное растяжение пружины, считая от нерастянутого состояния, равнялось , то первоначальное значение силы упругости составляло , где - коэффициент пропорциональности, который называют жесткостью пружины. По мере сокращения пружины эта сила линейно убывает от значения до нуля. Значит, среднее значение силы равно . Можно показать, что работа равна этому среднему, умноженному на перемещение точки приложения силы:
Таким образом, потенциальная энергия растянутой пружины
Такое же выражение получается для сжатой пружины.
В формуле (98.1) потенциальная энергия выражена через жесткость пружины и через ее растяжение . Заменив на , где - упругая сила, соответствующая растяжению (или сжатию) пружины , получим выражение
которое определяет потенциальную энергию пружины, растянутой (или сжатой) силой . Из этой формулы видно, что, растягивая с одной и той же силой разные пружины, мы сообщим им различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, т.е. чем больше ее упругость, тем меньше потенциальная энергия; и наоборот: чем мягче пружина, тем больше энергия, которую она запасет при данной растягивающей, силе. Это можно уяснить себе наглядно, если учесть, что при одинаковых действующих силах растяжение мягкой пружины больше, чем жесткой, а потому больше и произведение силы на перемещение точки приложения силы, т. е. работа.
Эта закономерность имеет большое значение, например, при устройстве различных рессор и амортизаторов: при посадке на землю самолета амортизатор шасси, сжимаясь, должен произвести большую работу, гася вертикальную скорость самолета. В амортизаторе с малой жесткостью сжатие будет больше, зато возникающие силы упругости будут меньше и самолет будет лучше предохранен от повреждений. По той же причине при тугой накачке шин велосипеда дорожные толчки ощущаются резче, чем при слабой накачке.
Подставив в формулу (2.13) значения s и e из формул (2.11) и (2.12), получим
f уп /S=E|DL|/L 0 .
откуда следует, что сила упругости f уп, возникающая при деформации тела, определяется по формуле
f уп =ES|DL|/L 0 . (2.14)
Определим работу A деф, совершаемую при деформации тела, и потенциальную энергию W упруго деформированного тела. Согласно закону сохранения энергии,
W=A деф. (2.15)
Как видно из формулы (2.14), модуль силы упругости может изменяться. Он возрастает пропорционально деформации тела. Поэтому для подсчета работы деформации необходимо брать среднее значение силы упругости
Тогда определяемая по формуле A деф =
A деф = ES|DL| 2 /2L 0 .
Подставив это выражение в формулу (2.15), найдем значение потенциальной энергии упруго деформированного тела:
W= ES|DL| 2 /2L 0 . (2.17)
Для упруго деформированной пружины ES/L 0 =k - жесткость пружины; х - удлинение пружины. Поэтому формула (2.17) может быть записана в виде
W=kx 2 /2. (2.18)Формула (2.18) определяет потенциальную энергию упруго деформированной пружины.
Ответ 13
Кинетическая и потенциальная энергии
в тех случаях, когда тело, действуя на другое тело, вызывает его перемещение, а направление силы при этом не перпендикулярно направлению перемещения, совершается механическая работа. Наблюдения показывают, что при определенных условиях работа может быть совершена любым телом. Например, сжатая или растянутая пружина, действующая силой упругости на прикрепленное к ней тело, перемещает его и при этом совершает механическую работу. Может совершать работу и любое движущееся тело. Сталкиваясь с другим телом, оно действует на него силой и может вызвать перемещение этого тела или его частей (деформацию). При этом тоже совершается механическая работа.Про тела, которые могут совершать работу, говорят, что они обладают энергией. Энергией называют скалярную физическую величину, показывающую, какую работу может совершить тело. Энергия равна той максимальной работе, которую тело может совершить в данных условиях. Механическая работа является мерой изменения энергии в различных процессах. Поэтому энергию и работу выражают в одних и тех же единицах (в СИ - в джоулях). В более общем смысле энергия - это единая мера разных форм движения материи, а также мера перехода движения материи из одной формы в другую. Для характеристики конкретных форм движения материи используют понятия о соответствующих видах энергии: механической, внутренней, электромагнитной и т. д. Механическая энергия является характеристикой движения и взаимодействия тел. Она зависит от скоростей и взаимного расположения тел.
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения рассматриваемой системы.
Рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v 1 до v 2 .
Как было отмечено в §17, работу постоянной силы вычисляют по формуле А=Fscos. Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то cos=1 и А=Fs. По второму закону Ньютона F=ma. В § 2 было показано, что для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула
v 2 =v o 2 +2as.
Из этой формулы при v о =v 1 и v=v 2 Следует, что
s=(v 2 2 -v 1 2)/2a.
Подставив значения F и s в формулу работы, получим
А=mv 2 2 /2-mv 1 2 /2 (3.12).
Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины mv 2 2 /2.
Выше отмечалось, что механическая работа есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы (3.12) стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина mv 2 2 /2 представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической . Она обозначается W к. Следовательно,
W к =mv 2 2 /2. (3.13)
С учетом (3.13) формулу (3,12) можно записать в виде
А=W k2 -W k1 =W k , (3.14)
т.е. работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела.
Когда направление силы совпадает с направлением перемещения тела, работа силы положительна (т.е. A>0). Из формулы (3.14) видно, что в этом случае W k2 -W k1 >0, т.е. W k2 >W k1 . Следовательно, когда сила совершает положительную работу, кинетическая энергия тела увеличивается.
Когда же направление силы противоположно направлению перемещения, то A<0 и W k2 -W k1 <0, т.е. W k2
Потенциальная энергия
Определим работу, совершаемую силой тяжести F т при переносе материальной точки массой m по криволинейной траектории ВС из одной точки В поля тяготения Земли в другую точку С (рис 31). Для этого разобьем траекторию движения тела на сколь угодно малые участки s k , каждый из которых можно считать прямолинейным.
На произвольно выбранном таком участке сила тяжести F т составляет с перемещением s k угол k . Поэтому на данном участке работа силы тяжести
A k =F т ·s k ·cos( k). (3.15)
Спроецируем участок s k на вертикаль BD. Его проекция
h k =s k ·cos( k). (3.16)
Из (3.15) и (3.16) имеем A k =F т ·h k . Очевидно, что работа A BC силы тяжести F т на всем пути ВС равна сумме элементарных работ h k на всех участках s k этого пути:
ABC=F т (h 1 -h 2)=mgh 1 -mgh 2 (3.17)
Из последней формулы видно, что работа силы тяжести при переносе материальной точки массой m в поле тяготения Земли равна разности двух значений некоторой величины mgh. Поскольку работа есть мера изменения энергии, то в правой части формулы (3.17) стоит разность двух значений энергии этого тела. Это значит, что величина mgh представляет собой энергию, обусловленную положением тела в поле тяготения Земли.
Энергию, обусловленную взаимным расположением взаимодействующих между собой тел (или частей одного тела), называют потенциальной и обозначают W п . Следовательно, для тела, находящегося в поле тяготения Земли,
W п =mgh. (3.18)
С учетом (3.18) формулу (3.17) можно записать в виде
A BC =W п1 -W п2 =-(W п2 -W п1)=-W п (3.19)
т. е. работа силы тяжести равна изменению потенциальной энер-гии тела, взятому с противоположным знаком.Из рис. видно, что работа A BD , совершаемая силой тяжести при перемещении материальной точки массой m из точки B в точку D по вертикали ВD, составляет A BC =mgh 1 -mgh 2 . Следовательно, A BD =A BC . Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а определяется лишь положением в поле тяготения Земли начальной и конечной точек перемещения тела.Силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, называют консервативными, а поле таких сил называется потенциальным . Сила тяжести является консервативной, а поле тяготения - потенциальным. Из формулы (3.19) следует, чторабота консервативных сил равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.
Следует отметить, что тела имеют потенциальную энергии не только вследствие их притяжения к Земле. В результате упругой деформации тело тоже приобретает потенциальную энергию. Если, например, сжимается или растягивается упругая пружина, то ее потенциальная энергия вычисляется по формуле W п =kх 2 /2, где k - жесткость пружины, x - ее удлинение, т.е. смещение точки приложения силы упругости.
Работа силы упругости определяется по формуле
A=W п1 -W п2 = kх 1 2 /2- kх 2 2 /2=-W п (3.20)
Сумму кинетической и потенциальной энергии тела называют полной механической энергиейэтого тела и обозначают W.
W=W п +W k (3.21)
